Polígonos

Un Polígono es una figura cerrada que tiene tres o más lados rectos.
Un polígono equivale a la porción de plano limitada por tres o más rectas que se cortan dos a dos.

Los polígonos están formados por: Lados (segmentos rectilíneos que forman el contorno); Vértices (puntos donde se unen dos lados consecutivos, se nombran con letras mayúsculas); Ángulos interiores (formados por cada dos lados consecutivos);

Diagonales (segmentos que unen dos vértices no consecutivos).


Los lados y las diagonales se nombran con las letras de los vértices que unen y los ángulos con la letra del vértice correspondiente con un circunflejo ^ sobre la letra.

En todos los póligonos coincide el número de lados con el de vértices y de ángulos interiores.


Clases de Polígonos

Para la clasificación de los Polígonos seguiremos los siguientes criterios:

Según el número de lados

Lados ⇒ NombreLados ⇒ Nombre
3 ⇒ Triángulo 8 ⇒ Octágono
   4 ⇒ Cuadrilátero 9 ⇒ Eneágono
5 ⇒ Pentágono10 ⇒ Decágono
6 ⇒ Hexágono  11 ⇒ Endecágono
7 ⇒ Heptágono   12 ⇒ Dodecágono
Para polígonos con más de 13 lados se puede escribir, resulta más fácil ⇒ "13-ágono", "14-ágono", "15-ágono" ...

Según sus ángulos

Polígono Convexo ⇒ Cuando todos sus ángulos son menores de 180º (convexos)
Polígono Cóncavo ⇒ Cuando tiene algún ángulo que mide más de 180º (cóncavo)

Según la igualdad de lados y ángulos

Polígono Equilátero ⇒ Cuando todos sus lados son iguales
  Polígono Equiángulo ⇒ Cuando todos sus ángulos son iguales
      Polígono Regular ⇒ Cuando todos sus lados y ángulos son iguales


Conceptos Generales

A continuación veremos los conceptos más importantes a tener en cuenta para el estudio de los póligonos.

Périmetro de un polígono

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de todos sus lados, lo que es igusl a la medida de su contorno.


Número de diagonales de un polígono

Desde cada vértice de un polígono, de n vértices, se pueden trazar tantas diagonales como vértices tiene menos tres ⇒ n - 3 diagonales.
Si el póligono tiene n vértices, se podrán trazar ⇒ n . (n - 3) diagonales; pero como cada diagonal se cuenta dos veces hay que dividir por dos, luego el número total de diagonales es ⇒ n . (n - 3) / 2

Ejemplo: ¿Cuántas diagonales tiene un Heptágono?

Un Heptágono tiene 7 lados y 7 vértices, luego → n = 7
Desde cada vértice se pueden trazar → 7 - 3 = 4 diagonales
Por tanto, el total será → D = (7 x 4) / 2 = 14 diagonales


Suma de los ángulos interiores de un polígono

Al trazar las diagonales, desde cualquier vértice, en un polígono de n lados se obtienen n - 2 triángulos.
Como la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º, la Suma Total de los ángulos interiores de un polígono sera igual a 180º multiplicado por el número de triángulos ⇒ 180º x (n-2)

Ejemplo: ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un Pentágono?

Un Pentágono tiene 5 lados y 5 vértices, luego → n = 5
Al trazar las diagonales desde un vértice obtenemos → 5 - 2 = 3 triángulos
Los ángulos de un triángulos suman → 180º
Por tanto, la Suma → S = 180 x 3 = 540º

Conceptos importantes de los Polígonos Regulares

Los polígonos regulares, al tener sus lados y ángulos iguales, tienen unos elementos comunes y unas propiedades que es necesario conocer para la resolución de los problemas sobre polígonos.

Elementos de los Polígonos Regulares

Circunferencia circuscrita ⇒ Pasa por los vértices del polígono.
Circunferencia inscrita ⇒ Tangente a las lados del polígono.
Centro ⇒ Punto que equidista de los vértices.
Radio ⇒ De la circunferencia circunscrita. Distancia del centro a un vértice.
Apotema ⇒ Radio de la circunferencia inscrita o perpendicular del centro a un lado del polígono.
Ángulo central ⇒ El formado por dos radios consecutivos.

Ángulo Central de los Polígonos Regulares

Un Polígono Regular tiene tantos ángulos centrales como lados y todos son iguales. Como la suma de todos los ángulos centrales vale 360º, el valor de un ángulo central es igual a 360º dividido por el número de lados (n) → Ac = 360º / n

Ángulo Interior de los Polígonos Regulares

La Suma de los ángulos interiores de un polígono cualquiera es de n lados es ⇒ 180º x (n-2). Como en los polígonos regulares todos los ángulos interiores son iguales, el valor de un ángulo interior es igual a la suma de todos los ángulos dividido por el número de ángulos (n) Ai = 180º x (n-2) / n

Ángulo Exterior de los Polígonos Regulares

Un ángulo exterior es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo, por tanto es el suplementario de un ángulo interior. Su valor es → Ae = 180º - Ai/.
Para saber la medida de Ae, en un polígono regular, sustituimos Ai por su valor y nos queda → Ae = 180º - 180º (n-2) / n = (180º n - 180º n + 360º) / n = 360º / n .
Es decir, en los polígonos regulares el valor del ángulo exterior es igual al del ángulo central Ae = Ac


Cuadriláteros

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. A continuación se muestra su definición y Area.

Nombre
DefiniciónÁrea
CuadradoSus lados y ángulos son igualesLado al cuadrado
RectánguloLados opuestos iguales y ángulos igualesLado mayor por lado menor
RomboLados iguales y ángulos opuestos igualesSemiproducto de las diagonales
RomboideLados y ángulos opuestos igualesBase por altura
TrapecioTienen dos lados paralelosSemisuma de las bases por la altura
TrapezoideNo tienen lados paralelosSuma de las áreas de los dos triángulos


Área de los Polígonos Regulares


En un polígono regular de n lados, si unimos el centro con cada uno de los vértices, se obtienen n triángulos iguales. El área del polígono será la suma de las áreas de los n triángulos, es decir, el área de un triángulo multiplicado por n.
Área del triángulo ⇒ L x a / 2 → Área del polígono ⇒ (L x a / 2) x n ⇒ Operando →
A = n x L x a / 2 → como n x L = Perímetro → A = P x a / 2 ⇒ (a es la apotema).
Por tanto, la fórmula general para calcular el área de un polígono regular es →


El área es una medida de superficie. Para calcular el área, todas las medidas lineales deberán estar en la misma unidad.

En el triángulo, aplicando el Teorema de Pitágoras, se verifica que ⇒
r2 = a2 + (L/2)2. Asi pues, para calcular el área de un polígono regular, de n lados, es necesario conocer, al menos, dos de los tres datos (lado, radio y apotema).

Por tanto, para poder calcular el área de un polígono regular, de n lados, es necesario conocer, al menos, dos de los tres datos (lado, radio y apotema) del triángulo.

Conociendo el lado y la apotema, se aplica la fórmula directamente.

Ejemplo: Calcular el Área de un Hexágono, si el lado mide 4 cm y la apotema 3,46 cm.

Un Hexágono tiene 6 lados, luego → n = 6 y l = 4 cm
El perímetro es → 6 x 4 = 24 cm
Aplicando la fórmula → A = (24 x 3,46)/2 = 41,57 cm2

Conociendo el lado y el radio, tenemos que calcular primero el valor de la apotema.

Ejemplo: Calcular el Área de un Pentágono, si el lado mide 5 cm y el radio 4,25 cm.

r2 = a2 + (L/2)2 → 4,252 = a2 + (5/2)2 → a2 = 4,252 - 2,52
a2 = 18,06 - 6,25 = 11,81 → a = 3,44

Al ser un Pentágono → n = 5P = 5 x 5 = 25 cm
Aplicando la fórmula → A = (25 x 3,44)/2 = 43 cm2

Para calcular el Área, conociendo solo el valor de lado, es necesario emplear funciones trigonométricas.


Por simplicidad, en los juegos se indicará solamente el valor numérico de los datos sin hacer referencia a las unidades de longitud o de superficie.



A continuación te facilitamos la posibilidad de calcular el Radio (r), la Apotema (ap) y el Área (A) de un Polígono Regular conociendo el valor de su lado.(El resultado se dará redondeando a dos decimales). Para ello, introduce el número de lados del Polígono y cuanto mide su lado. Después, pulsa "Calcular". Para saber la de otro polígono, repite el proceso.

¿Número de lados? ⇒         
¿Longitud del lado? ⇒ cm