Ángulos

La idea general de ángulo, se refiere a la figura formada por dos líneas que tienen un origen común.
En Geometría, un ángulo es la porción de plano comprendida entre dos semirrectas que concurren en un punto común llamado vértice.

Un ángulo está formado por: Lados (cada una de las semirectas), Vértice (punto en que coinciden los lados) y Amplitud (abertura que hay entre los lados).

Se llama Bisectriz a la semirrecta que divide el ángulo en dos ángulos iguales.


Medida de Ángulos

Para medir la amplitud de un ángulo lo que hacemos es compararlo con uno que se toma como unidad. La unidad más utilizada es el grado sexagesimal, que equivale a 1/360 del ángulo completo. Su notación es el símbolo o.
Este sistema de unidades se llama sexagesimal porque sus unidades aumentan y disminuyen de 60 en 60.

Los submúltiplos del grado son el minuto ' y el segundo ''.

Cada grado tiene 60 minutos. 1o = 60'
Cada minuto tiene 60 segundos. 1' = 60''
Por tanto: 1o = 60' = 3.600''


Los minutos y los segundos siempre se representan con números menores de 60. Cuando tengamos cantidades mayores de 60 hay que convertirlas a unidades de orden superior. (Los segundos a minutos, y los minutos a grados).

Convertir segundos a minutos

Para segundos inferiores a 120, restamos 60 (1 minuto) y el resto son segundos.
Convertir 108'' a minutos ⇒ 108 - 60(1') = 48('')108'' = 1' 48''
Si son superiores a 120, dividimos por 60 (1'); el cociente son ' y el resto ''.
Convertir 218'' a minutos ⇒ 218'' = 3' 38''

Convertir minutos a grados

Para minutos inferiores a 120, restamos 60 (1 grado) y el resto son minutos.
Convertir 97' a grados ⇒ 97 - 60(1º) = 37(')97' = 1º 37'
Si son superiores a 120, dividimos por 60 (1º); el cociente son º y el resto '.
Convertir 324' a grados ⇒ 324' = 5º 24'

Forma compleja e incompleja de la medida de ángulos

Las medidas de los ángulos se pueden expresar de forma compleja o incompleja.

Forma compleja ⇒ Cuando se expresa con varias unidades ⇒ 12º 26' 34'' (grados, minutos y segundos)

Forma incompleja ⇒ Cuando se expresa con una sola unidad ⇒ 42,125º (un número decimal)

Pasar de forma compleja a incompleja

Tenemos que transformar los minutos y los segundos a grados. Para hacerlo sumamos los grados, más los minutos divididos por 60 (para que sean grados), más los segundos divididps por 3600 (para que sean grados).

Transformar 12º 45' 54'' a forma incompleja
12º + 45/60 º + 54/3600 º = 12º + 0,75º + 0,015º = 12,765º
12º 45' 54'' = 12,765º

Pasar de forma incompleja a compleja

Tenemos que transformar los decimales de los grados a minutos y segundos. Para hacerlo, la parte entera son grados y la parte decimal se multiplica por 60. La parte entera de este producto son los minutos. La parte decimal del producto se multiplica por 60 y el resultado de este producto son los segundos.

Transformar 26,325º a forma compleja
26,325º ⇒ 26º + 0,325º ;       0,325 x 60' = 19,5' ⇒ 19' + 0,5' ;      0,5 x 60'' = 30''
26,325º = 26º 19' 30''

Clases de Ángulos

←— Agudo ⇒ su amplitud es mayor de y menor de 90º.
←— Recto ⇒ su amplitud es igual a 90º.
←— Obtuso ⇒ su amplitud es mayor de 90º y menor de 180º.
←— Llano ⇒ su amplitud es igual a 180º.
←— Complementarios ⇒ dos ángulos cuya suma es igual a 90º.
←— Suplementarios ⇒ dos ángulos cuya suma es igual a 180º.
←— Consecutivos ⇒ dos ángulos con el vértice y un lado comunes.
←— Adyacentes ⇒ dos ángulos que son consecutivos y suplementarios.


Suma y Resta de Ángulos en forma compleja

Para sumar o restar ángulos expresados en grados, minutos y segundos se colocan sus medidas en tres columnas, los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos y hacemos la suma o la resta.
Si los minutos o segundos son más de 60 hay que convertirlos a unidades de orden superior.

Sumar 22º 15' 34'' + 10º 20' 40''

   Colocamos las unidades unas debajo de otras y sumamos.
Como 74'' > 60, restamos 60''; 74'' - 60'' = 14''
y sumamos 1' a 35'; 1' + 35' = 36' .

Restar 45º 48' 12'' - 12º 24' 35''

   Como de 12'' < 35'' no podemos restarlos.
Para poder restar quitamos 1' (60'') a 48'; 48' -1' = 47',
y los 60'' los sumamos a los 12''; 12'' + 60'' = 72''.
Y ahora ya podemos hacer la resta.

Multiplicar un Ángulo, en forma compleja, por un número

La multiplición de un Ángulo por un número entero se hace multiplicando separadamente los grados, minutos y segundos por ese número.
Si los minutos o segundos son más de 60 hay que convertirlos a unidades de orden superior.

Multiplicar 45º 48' 12'' por 3

   Multiplicamos los grados, minutos y segundos por 3.
Como 96'' > 60, restamos 60''; 96'' - 60'' = 36''
y sumamos 1' a 75' = 76'.
Al ser 76' > 60, restamos 60'; 76' - 60' = 16'
y sumamos 1º a 54º = 55º.

Dividir un Ángulo, en forma compleja, por un número

Para dividir un Ángulo por un número entero, se dividen primero los grados por ese número; si la división no es exacta, el resto se convierte en minutos y se suman a los minutos del dividendo.
Después se dividen los minutos por el número y el resto, si lo hay, se convierte en segundo que se suman a los segundos del dividendo.
Y por último, se dividen los segundos por el número.

Dividir 21º 28' 9'' por 3

   Dividimos los grados; 21 : 3 = , resto 0.
Dividimos los minutos; 28 : 3 = 9', resto 1' = 60'';
y los sumamos a 9''; 60'' + 9'' = 69''
Dividimos los segundos; 69'' : 3 = 23'' y resto = 0.