Poliedros

Los Poliedros son cuerpos geométricos cerrados, limitados por polígonos. Las caras del poliedro forman la superficie del mismo.

Los Poliedros están formados por: Caras (cada uno de los polígonos que lo limitan); Aristas (la intersección de dos caras); Vértices (la intersección de tres o más artistas);


Una característica que cumplen todos los poliedros convexos es la famosa Fórmula de Euler: En un poliedro convexo con C caras, A aristas y V vértices se cumple que:

C - A + V = 2     ⇒     C + V = A + 2

Las Pirámides tienen tantas Caras como lados tenga el polígono de la base más uno, tantos Vértices como Caras y el número de Aristas es el doble de los lados del polígono de la base.

Los Prismas tienen tantas Caras como lados tenga el polígono de la base más dos, el número de Vértices es el doble de los lados del polígono de la base y el número de Aristas es el triple de los lados del polígono de la base .


Área y Volumen de los Poliedros

El Área de los poliedros se calcula sumando las áreas de todas sus caras. Para este cálculo es necesario saber bien como se calcula el área de los Polígonos y de los Círculos.

El Volumen de los poliedros se obtiene, de forma general, multiplicando el Area de la Base por la Altura.

V = Ab . h

Para calcular el Volumen (medidas de volumen), es necesario que todas las medidas lineales y de superficie estén en la misma unidad.
Dependiendo del tipo de Poliedros, el Volumen también se puede calcular mediante las fórmulas que veremos a continuación.


Poliedros Regulares

Se llaman poliedros regulares a los poliedros que tienen todas sus caras iguales y son polígonos regulares. Únicamente existen 5 poliedros regulares.
Por sus especiales caracteristicas, además de la fórmula del Volumen se muestra la fórmula simplificada para calcular el Área.

Tetraedro ⇒ Tiene 4 caras que son triángulos equiláteros iguales, 4 vértices y 6 aristas. (a=arista; A=área; V=volumen).

A = √3 . a2        V = √2 / 12 . a3

Hexaedro o Cubo ⇒ Tiene 6 caras que son cuadrados iguales, 8 vértices y 12 aristas. (a=arista; A=área; V=volumen).

A = 6 . a2        V = a3

Octaedro ⇒ Tiene 8 caras que son triángulos equiláteros iguales, 6 vértices y 12 aristas. (a=arista; A=área; V=volumen).

A = 2√3 . a2        V = √2 / 3 . a3

Dodecaedro ⇒ Tiene 12 caras que son pentágonos iguales, 20 vértices y 30 aristas.(ap=apotema; a=arista; A=área; V=volumen).

A = 30 . a . ap        V = 1/4 (15 + 7 √5) . a3

Icosaedro ⇒ Tiene 20 caras que son triángulos equiláteros iguales, 12 vértices y 30 aristas. (a=arista; A=área; V=volumen).

A = 5 . √3 . a2         V = 5/12 (3 + √5) . a3


Prismas y Pirámides

Las características de estos poliedros y la fórmula para calcular su Volumen se muestran a continuación.


Prisma ⇒ Formado por dos polígonos iguales y paralelos (bases), y tantos paralelogramos como número de lados tengan sus bases. (Ab=área de la base; h=altura).

V = Ab . h


Ortoedro ⇒ Tambien llamado Paralepípedo, es un Prisma rectangular cuyas caras opuestas son iguales.

V = a . b . c


Pirámide ⇒ Tiene como base un polígono cualquiera, y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común.(Ab=área de la base; h=altura).

V = (Ab . h) / 3


Tronco de Pirámide ⇒ Formado por la base de la pirámide y un plano que corta las aristas laterales. Si el plano es paralelo a la base se dice que el tronco es de bases paralelas. (AB=área base mayor; Ab=área base menor; h=altura).



Cilindro, Cono y Esfera

Los Cuerpos de revolución son los cuerpos geométricos que se forman al girar una figura plana alrededor de un eje. Las caras de los cuerpos de revolución son curvas.
Los tres cuerpos de revolución más importantes son el Cilindro, el Cono y la Esfera.
También, en este caso, además de la fórmula del Volumen se muestra la fórmula simplificada para calcular el Área.


Cilindro ⇒ Formado al girar un rectángulo alrededor de un lado.

A = 2 . π . r . (r + h)          V = π . r2 . h




Cono ⇒ Formado al girar un triángulo rectángulo sobre uno de los catetos.

A = π . r . (g + r)          V = (π . r2 . h) / 3



Esfera ⇒ Formada al girar un semicírculo sobre el diámetro.

A = 4 . π . r2          V = 4 / 3 . π . r3



Los juegos tratarán del cálculo de las aristas y del volumen de algunos poliedros. Se indicará solamente el valor numérico de los datos.